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研究林分生长与收获预估模型可以了解森林的生长变化规律和预估林分生长量、收获量[1]。在林分生长与收获预估模型的研究中，林分断面积是林分生长收获模型系统的核心部分[2]，而林分蓄积量的大小又标志着林地生产力的高低及经营措施的效果[3]。在目前的研究中，许多学者都是分别建立林分断面积与蓄积生长模型的[2-6]，但理论上，林分断面积与林分蓄积量的大小密切相关，是一个常用的林分密度指标，有学者认为选用林分断面积作为密度指标来建立林分蓄积模型时，模型的预估效果会更好[7]。在林分生长与收获模拟预测体系中林分断面积既可以作为重要的自变量来预估蓄积，又可以作为因变量被模拟预测。通常我们认为只有因变量的观测值含有误差，但实际上，无论是自变量还是因变量都会存在来自抽样或测量等方面的误差。我们把这些误差都称为度量误差[8]。当自变量和因变量都有误差时，传统模型方法就不再适用于模型的拟合，因此需要采用度量误差模型来建立误差联立方程组，使模型之间具有相容性。最近几年，度量误差模型在林业上的应用研究越来越深入。李际平等[9]利用非线性度量误差模型建立了南方马尾松Pinus massoniana地上生物量与树干、树冠的相容性联立方程组模型；陈振雄等[10]利用度量误差模型方法建立了海南省桉树Eucalyptus spp.，木麻黄Casuarina equisetifolia，马占相思Acacia mangium的树干去皮材积与质量相容性联立方程组；高东启等[11]以Richards方程为基础模型，利采用度量误差模型对蒙古栎Quercus mongolica建立了林分相容性树高曲线方程组；蒋益等[8]也用该方法建立了油松Pinus tabulaeformis林分相容性树高曲线方程组。但目前，利用度量误差模型方法建立林分蓄积、断面积的误差联立方程组的研究尚鲜有报道。油松根系发达，有较强的适应性和抗逆性，是中国北方温带针叶林中分布最广的群落[12]，因此，本研究在前人研究的基础上，利用北京市油松一类清查数据，在保证各因子之间既相容又能预测精度的前提下，用传统方法和引入以间伐措施为特征的哑变量方法为基础模型来建立相容性的林分断面积、蓄积联立方程组，使断面积、蓄积2个因子预测时保持相容性和一致性，达到在优化模型结构的同时减少外业调查误差对预测结果影响的目的，使模型更具生物学意义和解释性。
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本研究所用数据为国家林业局调查规划设计院1996，2001，2006年的北京市油松一类清查数据，各个样地面积为0.066 7 hm2。记录林木胸径、林分平均高、林分年龄、林分蓄积、采伐蓄积、郁闭度、海拔高度等林分调查因子。调查期内对部分林分进行了抚育间伐。剔除数据缺失、记录不详及明显有误的样地及疏林地样地，最终选出133块油松人工林样地用以建模和检验，包括65块间伐样地(共4 299株样木)和68块未间伐样地(共4 330株样木)。对133块样地进行随机抽样，其中80块样地用于建模，剩余53块样地用于检验。统计样地基本情况及随机抽样的样地、样木分布情况分别如表 1和表 2所示。
样地类型 项目 年龄/a 平均胸径/cm 平均树高/m 林木株数/(株·hm-2) 林分断面积/(m2·hm-2) 林分蓄积/(m3·hm-2) 最大值 56 20.0 16.5 2 054 32.925 9 12.701 6 间伐样地 最小值 19 8.4 5.4 180 1.292 7 4.287 9 平均值 38 12.9 9.5 992 13.394 4 52.360 3 最大值 62 22.4 15.7 2 339 46.139 5 200.689 7 未间伐样地 最小值 15 7.0 4.2 225 0.710 2 5.082 5 平均值 35 12.2 8.9 955 12.480 7 49.293 6 最大值 62 22.4 16.5 2 339 46.139 5 200.689 7 全部样地 最小值 15 7.0 4.2 180 0.710 2 4.287 9 平均值 36 12.6 9.2 973 12.927 2 50.792 3 Table 1. The condition of plots
项目 间伐林分 未间伐林分 合计 样地/个 样木/株 样地/个 样木/株 样地/个 样木/株 建模数据 41 2 876 39 2 504 80 5 380 检验数据 24 1 423 29 1 826 53 3 249 全部样地 65 4 299 68 4 330 133 8 629 Table 2. Distribution of plots and tree of fit data and validation data
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近年来，对林分断面积、蓄积生长模型的研究越来越多，但其中以Richards和Schumacher模型2种应用较为广泛[13-14]。本研究在初步的试验以及前人研究的基础上发现Richard方程能够较好地拟合油松的蓄积、断面积生长模型。利用地位指数来反映林分的立地质量[15-16]，选取林分密度指数和林分断面积作为密度指标来拟合林分断面积和蓄积生长模型，采用Richard方程对油松的蓄积和断面积生长模型进行拟合。公式如下：
式(1)和式(2)中：G和M分别为林分的断面积和蓄积，IS为地位指数[17]，ISD为林分密度指数[17](根据公式ISD=N(Dg/D0)b获得，其中N为单位面积株数，Dg为林分平均胸径，D0为20 cm，b为自稀疏率1.384)，A为林分年龄，a1~a5和b1~b5为模型的预估参数。
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间伐是最重要的营林技术措施之一[18]。现实中的林分由于抚育间伐的影响，间伐与未间伐林分在生态环境、林分结构和生长规律上可能存在差异。一般来说，需要分开建模，但间伐和未间伐林分之间又存在一些联系[19]，因此如何把不同的林分结合起来建立统一的模型并在保证模型预测值可靠性下使模型简化，是值得研究的问题。哑变量模型方法为解决这一问题提供了可能途径[20]。本研究在前人研究的基础上，在模型中引入哑变量，用定性代码来表示间伐和未间伐林分，以整合构建具有相容性的统一模型。具体过程是将第i个类型的林分编号为Si，将定性数据Si转化为0和1，即：
其中：i= 1，2，S1和S2分别为间伐林分和未间伐林分的定性代码。其形式如下：
式(3)和式(4)中：G和M分别为林分的断面积和蓄积，IS为地位指数，ISD为林分密度指数，A为林分年龄，S1和S2为间伐林分和未间伐林分的定性代码，a0~a5，b0~b5为模型的预估参数。
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野外调查中，无论是自变量还是因变量都存在一定误差，且误差来源于许多方面，如抽样误差、测量误差等。这些随机误差都被称为度量误差[8]。采用度量误差模型来建立误差联立方程组，使模型之间更具有相容性。公式如下[21]：
式(5)中：xi是q维无误差变量的观测数据，yi是p维误差变量的观测数据，f是m维向量函数，Yi是yi的未知真值，误差的协方差矩阵记为Φ=σ2ψ，ψ是ei的误差结构矩阵，σ2为估计误差。
以传统模型和哑变量模型为基础，利用非线性度量误差方法分别联立式(1)，式(2)和式(3)，式(4)构成联立方程组，以保证M—G方程之间的相容性和一致性。基于传统方法的联立方程组形式如下：
基于哑变量方法的联立方程组如下：
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利用Forstat 2.0软件求解参数，采用Excel，SPSS进行数据计算和模型检验。对所建传统模型和哑变量模型进行t检验，并通过平均绝对偏差(DMA)，均方根误差(ERMS)，决定系数(R2)和预估精度(P)等几个指标对模型进行检验和比较。计算表达式如下：
式(8)~式(11)中：yi为断面积、蓄积的实测值，${{\hat y}_i}$为模型预估值，${{\hat{\bar{y}}}}$为模型预估值的平均值，n为样本数，p为模型参数个数，t0.05为置信水平为0.05时的t分布值。
1.1. 数据来源与整理
1.2. 基于传统方法的蓄积、断面积生长模型
1.3. 基于哑变量方法的蓄积、断面积生长模型
1.4. 非线性度量误差联立方程组的建立
1.5. 参数估计与模型检验
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通过ForStat软件中的非线性度量误差联立方程组求解林分蓄积、断面积生长模型的参数如表 3所示，统计各评价指标结果如表 4所示。
项目 a0/b0 a1/b1 a2/b2 a3/b3 a4/b4 a5/b5 传统方法联立方程组 林分断面积模型 0.924 0 0.681 0 0.011 2 0.630 6 1.365 9 林分蓄积模型 5.678 6 0.246 0 0.001 0 3.421 9 0.280 8 哑变量方法联立方程组 林分断面积模型 0.879 8 0.867 9 0.595 7 0.015 3 0.676 0 1.456 2 林分蓄积模型 4.433 4 4.490 5 0.314 1 0.000 2 3.497 9 0.282 9 Table 3. Parameter statistics of simultaneous equations
项目 R2 DMA ERMS P 传统模塑联立方程组 林分断面积模型 0.849 6 0.160 0 0.204 5 0.945 7 林分蓄积模型 0.827 2 0.737 1 0.284 4 0.942 0 哑变量模型联立方程组 林分断面积模沏 0.852 2 0.142 0 0.200 6 0.956 5 林分蓄积模型 0.831 2 0.706 5 0.280 1 0.959 9 Table 4. Evaluation indicators statistics of simultaneous equations
从表 4可以看出：在传统方法的联立方程组中，林分断面积模型的决定系数为0.849 6，林分蓄积模型的决定系数为0.827 2，两者的预估精度都在0.940 0以上，说明2个模型的拟合效果均较好；而在含哑变量模型的联立方程组中，林分断面积生长模型的决定系数为0.852 2，预估精度为0.956 5，林分蓄积生长模型的决定系数为0.831 2，预估精度为0.959 9，相比较于传统方法而言，含哑变量方法的林分断面积、蓄积生长模型的确定系数和预估精度都有所提高，而且各项误差也相应减少了。这在一定程度上说明含哑变量方法的模型拟合效果比传统模型好。
利用检验数据分别对2种方法的断面积、蓄积联立方程组进行检验，检验结果如表 5所示。从表 5可以看出：传统方法与哑变量方法的预测精度都较高，超过了0.900 0，就林分断面积而言，传统方法的林分断面积模型的平均绝对偏差为0.205 2，均方根误差为0.332 0，决定系数为0.900 1，预测精度为0.921 5；含哑变量方法的林分断面积模型的平均绝对偏差为0.201 2，均方根误差为0.288 1，决定系数为0.929 7，预测精度为0.939 8；对于林分蓄积，传统方法的林分蓄积模型的平均绝对偏差为0.379 3，均方根误差为0.688 0，决定系数为0.912 3，预测精度为0.928 3；含哑变量方法的林分蓄积模型的平均绝对偏差为0.269 3，均方根误差为0.589 2，决定系数为0.932 8，预测精度为0.932 6。以上数据表明各项误差较小，说明所建的林分断面积、蓄积量联立方程组是比较合理的。
项目 R2 DMA ERMS P 传统方法的联立方程组 林分断面积模型 0.900 1 0.205 2 0.332 0 0.921 5 林分蓄积模型 0.912 3 0.379 3 0.688 0 0.928 3 含哑变量的联立方程组 林分断面积模型 0.929 7 0.201 2 0.288 1 0.939 8 林分蓄积模型 0.932 8 0.269 3 0.589 2 0.932 6 Table 5. Inspection of equations with error variables
对模型进行成对t检验，在0.05的显著水平上回归效果显著，实测值与预测值之间无显著差异，说明林分断面积、蓄积量的联立方程组预测效果较好，采用度量误差方法建立的林分断面积、蓄积量误差联立方程组是比较合理的。进一步分析传统模型及哑变量模型联立方程组的断面积、蓄积残差可知：绝大多数残差点都落在各自“残差平均值± 2倍标准差”之间，残差分布无明显异质性，说明模型的拟合效果较好，而且在一定程度上也说明引入哑变量，能适当提高模型的精度并能解决模型单独建模模型不相容的问题。
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为使林分断面积、蓄积量的预测结果保持一致，预估精度更高，本研究从模型相容的角度出发，以北京地区油松一类清查数据为例，采用度量误差方法分别建立了基于传统方法的林分断面积与林分蓄积联立方程组和基于哑变量方法的林分断面积、蓄积联立方程组，并将两者进行对比。经检验，2种模型方法的林分断面积、蓄积模型的预测精度都较高，超过了90%。在林分断面积联立方程组中，含哑变量方法的林分断面积模型的决定系数为0.929 7，预测精度为0.939 8；传统方法的林分断面积模型的决定系数为0.900 1，预测精度为0.921 5。在林分蓄积量联立方程组中，传统方法的林分蓄积模型的决定系数为0.912 3，预测精度为0.928 3；含哑变量方法的林分蓄积模型的决定系数为0.932 8，预测精度为0.932 6。
从林分水平生长模型相容的角度出发，引入间伐林分与未间伐林分的哑变量建立了林分断面积与蓄积的误差变量联立方程组。结果表明：含哑变量方法的联立方程组的预测精度和确定系数较传统方法都稍高，各项预测误差均稍小，说明模型较合理，使得林分断面积、蓄积量模型具有相容性和一致性。所建模型不仅考虑了抚育间伐措施对林分断面积、蓄积量生长的影响，同时还考虑了林分断面积和林分蓄积之间的度量误差，优化了模型结构，减小了外业调查中的误差对预测结果的影响，为从林分水平预测油松林分断面积和蓄积生长模型提供了参考和依据。
所建立的林分断面积与蓄积的误差变量联立方程组形式相对简单，便于在林业实践中具体应用，可以用来预测北京市油松人工林断面积、蓄积量的生长规律。但是，本研究所使用的数据来源于3期不同时期的数据，在建模过程中并未考虑时间效应的影响，而且间伐与未间伐林分的实验数据有限。在后续研究中，可收集更多实验数据，同时考虑区域、时间和其他经营管理措施等因素，采用混合模型的方法建模，使得建模结构更加合理，从而为油松林分的经营管理提供参考和依据。
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